Halaman
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK1043.6 Menentukan Rumus Fungsi InversMasalah 3.6Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besarnya dana yang diperoleh bergantung kepada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 500x + 20.000, dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan. a) Tentukanlah fungsi invers pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola tersebut. b) Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 5.000.000,00, berapa penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut?Alternatif PenyelesaianDiketahui fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah f(x) = 500x + 20.000.a) Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola Untuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dapat dihitung sebagai berikut.y = f(x) = 500x + 20.000y = 500x + 20.000 500x = y – 20.000 x = −20.000500y Karena x = f-1(y), maka f-1(y) = −20.000500y Karena f-1(y) = −20.000500y, maka f-1(x) = −20.000500x
Matematika105Jadi, fungsi invers dari f(x) = 500x + 20.000 adalah f-1(x) = −20.000500x atau f-1(x) = 1500(x – 20.000).b) Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 5.000.000,00, maka banyak penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalahf-1(x) = −20.000500xf-1(5.000.000) = −5.000.000 20.000500 = −5.000.000 20.000500 = 9.960Jadi, penonton yang menyaksikan pertandingan sepak bola sebanyak 9.960 orang. Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 3.6 di atas, diperoleh sifat sebagai berikut.Sifat 3.4Misalkan f-1 adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap x∈Df dan y∈Rf,makaberlaku y = f(x) jika dan hanya jika f-1 (y) = x. Contoh 3.7Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 5x + 7. Tentukanlah fungsi inversnya.Alternatif PenyelesaianKarena y = f(x), maka y = 5x + 75x = y – 7x = −75y
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK106Karena x = f-1(y), maka f-1(y) = −75yKarena f-1(y) = −75y, maka f-1(x) = −75x, = 15(x – 7)Jadi, fungsi invers f(x) = 5x + 7 adalah f-1(x) = 15(x – 7).Contoh 3.8Diketahui fungsi f: →dengan f(x) = 3x – 1. Tentukanlah fungsi inversnya.Alternatif PenyelesaianKarena y = f(x), maka y = 3x – 1 3x = y + 1 x = +13yKarena f-1(y) = x, maka f -1(y) = +13yKarena f-1(y) = +13y, maka f-1(x) = +13x, mengapa? Jelaskan.Jadi, fungsi invers f(x) = 3x – 1 adalah f-1(x) = +13x.Berdasarkan Contoh 3.7 dan Contoh 3.8, jawablah soal berikut ini. a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (ff-1)(x) dan (f-1f)(x)b) Kesimpulan apa yang dapat kamu temukan?Alternatif Penyelesaian(1) Berdasarkan Contoh 3.7, diketahui bahwa f(x) = 5x + 7 dan f-1(x) = 15(x – 7).a) Rumus fungsi komposisi (ff-1)(x) dan (f-1f)(x) ditentukan sebagai berikut.
Matematika107 (i) (ff-1)(x) = f(f -1(x)) = 5(f -1(x)) + 7 = 5(15(x – 7)) + 7 = x – 7 + 7 = x (ii) (f-1f)(x) = f -1(f(x)) = −75x = −() 75fx = −(5 + 7) 75x = ()−5 +7 75x = 55x = x(b) Berdasarkan hasil pada butir (a) dapat disimpulkan bahwa nilai (ff-1)(x) = (f -1f)(x) = x = I (x)(2) Sebagai latihanmu, silakan buktikan bahwa (f-1f)(x) = (ff -1)(x) = x = I (x) juga berlaku pada Contoh 3.8.Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.7 dan Contoh 3.8 diperoleh sifat berikut.Sifat 3.5Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf , sedangkan I(x) = x merupakan fungsi identitas. Fungsi f-1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika (ff-1)(x) = x = I(x) untuk setiap x∈Df , dan (f-1f)(x) = x = I(x) untuk setiap x∈Rf.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK108Sifat 3.5 di atas dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu fungsi merupakan fungsi invers dari fungsi f atau bukan. Agar kamu lebih memahami, perhatikan kembali Contoh 3. 9 berikut.Contoh 3.9Buktikanlah bahwa f(x) = 10x – 1 dan g(x) = +110x merupakan fungsi yang saling invers. Alternatif PenyelesaianUntuk membuktikan bahwa f(x) dan g(x) saling invers, cukup menunjukkan fungsi komposisi f(g(x)) = g(f(x)) = x. Bukti(i) f(g(x)) = +110xf= 10(g(x)) – 1= +110xf – 1 = x + 1 – 1 = x(ii) g(f(x)) = g(10x – 1)= −(101) +110x= 1010x= xKarena f(g(x)) = g(f(x)) = x, maka kedua fungsi saling invers. Perhatikan kembali Contoh 3.10 berikut.Contoh 3.10Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = x – 1. Tentukanlah (f-1)-1(x).
Matematika109Alternatif PenyelesaianUntuk menentukan rumus (f-1)-1(x), maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan f-1(x) sebagai berikut.Diketahui bahwa f(x) = x – 1, karena f(x) = y, maka y = x – 1 atau x = y + 1Oleh karena x = f-1(y), maka f-1(y) = y + 1, sehingga f-1(x) = x + 1.Langkah kedua, menentukan fungsi invers dari f-1 (x) sebagai berikut.Misalkan f-1(x) = h(x), maka fungsi invers dari h(x) adalah h-1(x) yang ditentukan seperti berikut.Misalkan h-1 adalah fungsi invers h. Untuk setiap x∈Dh dan y∈Rhberlaku y = h(x) jika dan hanya jika x = h-1(y).Karena h(x) = x + 1 dan h(x) = y, kita peroleh hubungan y = x + 1 atau x = y – 1.Karena x = h-1(y), maka h-1(y) = y – 1 sehingga h-1(x) = x – 1.Karena f-1 (x) = h(x) dan h-1 (x) = x – 1, maka (f-1)-1(x) = x – 1.Jadi, (f-1)-1(x) = x – 1.Perhatikan kembali rumus fungsi (f-1)-1(x) yang kita peroleh dengan rumus fungsi f(x) yang diketahui, dari kedua nilai ini kita peroleh bahwa (f-1)-1(x) = f(x) = x – 1.Berdasarkan hasil uraian pada Contoh 3.10 di atas, maka diperoleh sifat fungsi invers sebagai berikut. Sifat 3.6Jika f sebuah fungsi bijektif dan f-1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f-1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan(f-1)-1 = fSekarang, kita akan menentukan fungsi invers dari suatu fungsi komposisi. Untuk memahami hal tersebut, perhatikan contoh berikut.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK110Contoh 3.11Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x – 2. Tentukanlah soal berikut. a) (gf) dan (fg) d) (g-1f-1) dan (f-1g-1)b) f-1 dan g-1 e) Hubungan antara (gf)-1 dengan (f-1g-1)c) (gf)-1 dan (fg)-1 f ) Hubungan antara (fg)-1 dengan (g-1f-1)Alternatif Penyelesaiana) (gf) dan (fg)(i) (gf) = g(f(x))= f(x) – 2= (2x + 5) – 2= 2x + 3(ii) (fg) = f(g(x))= 2(g(x)) + 5= 2(x – 2) + 5= 2x – 4 + 5= 2x + 1b) f-1 dan g-1 (i) f-1f(x) = 2x + 5 Karena f(x) = y, maka y = 2x + 5 2x = y – 5 x = −52y Karena f-1 (y) = x, maka f-1 (y) = −52y Dengan demikian f-1(x) = −52x
Matematika111 (ii) g-1g(x) = x – 2 Karena g(x) = y, maka y = x – 2 sehingga x = y + 2 Karena g-1(y) = x, maka g-1(y) = y + 2 sehingga g-1(x) = x + 2c) (gf)-1 dan (fg)-1(i) (gf)-1 (gf)(x) = 2x + 3 Misalkan (gf)(x) = h(x), sehingga h(x) = 2x + 3 Karena h(x) = y, maka y = 2x + 3, sehingga x = −32y Karena h-1(y) = x, maka h-1(y) = −32y sehingga, h-1(x) = −32x Karena (gf)(x) = h(x), maka (gf)-1(x) = h-1(x), sehingga (gf)-1(x) = −32x(ii) (fg)-1 (fg)(x) =2x + 1 Misalkan (fg)(x) = k(x), sehingga k(x) = 2x + 1 Karena k(x) = y, maka y = 2x + 1, sehingga x = −12y Karena k-1(y) = x, maka k-1(y) = −12y, sehingga k-1(x) = −12x Karena (fg)(x) = k(x), maka (fg)-1(x) = k-1(x), sehingga (fg)-1(x) = −12xd) g-1f-1 dan f-1g-1 (i) g-1f-1Pada butir (b) telah ditemukan bahwa g-1(x) = x + 2 dan f -1(x) = −52x (g-1f-1)(x) = g-1(f-1(x))= (f -1(x)) + 2= −52x + 2 = −5+42x= −12x
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK112(ii) (f-1g-1) (f-1g-1)(x) = f-1(g-1(x))= −-1() 52gx= −( + 2) 52x= −32xe) Hubungan antara (gf)-1 dengan f-1g-1Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi (gf)-1 samadengan f-1g-1 atau (gf)-1(x)= (f-1g-1)(x) = −12xf ) Hubungan antara (fg)-1 dengan (g-1f-1)Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi (fg)-1 sama dengan g-1f-1 atau (fg)-1(x) = (g-1f-1)(x) = −32xBerdasarkan Contoh 3.11 di atas, maka dapat kita simpulkan sifat berikut.Sifat 3.7Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (gf)-1 = (f-1g-1)Agar kamu lebih memahami Sifat 3.7, selesaikanlah latihan berikut.Latihan 3.4Fungsi f: → dan g: → ditentukan oleh rumus f(x) = 5x – 4 dan g(x) = 3x. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (fg)-1(x) dan (gf)-1(x).